Поиск k-ой в лексикографическом порядке скобочной последовательности

Решение

Будем строить нашу последовательность слева направо, как в перестановках. Чтобы узнавать, сколько скобочных последовательностей мы скипнули, поставив ")" вместо "(", нам надо ввести вспомогательную функцию $ValidSequencesCount(n, balance)$, где $n ~-$ количество оставшихся позиций в последовательности, а $balance ~-$ текущий скобочный баланс, а сама эта функция возвращает количество ПСП с префиксом, равным тому, который мы уже построили, с оставшейся длиной $n$ и текущим балансом равным $balance$.

Как считать $ValidSequencesCount$ ?

Предподсчитаем все значения этой функции динамическим программированием.

1. База $VSC[0][0] = 1$, $VSC[0][1 \ldots n] = 0$
2. Переход $VSC[n][balance] = \underbrace{VSC[n-1][balance + 1]}_{\text{ставим "("}} + \underbrace{VSC[n-1][balance - 1]}_{\text{ставим ")"}}$

---

Автор конспекта: Александр Гришутин

По всем вопросам пишите в telegram @rationalex