Парадокс Монти-холла: различия между версиями
Глеб (обсуждение | вклад) |
Глеб (обсуждение | вклад) |
||
Строка 4: | Строка 4: | ||
Вы участвуете в игре, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей спрятан автомобиль, за двумя другими - козы. Вы выбираете одну из дверей (например 1-ую) после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, открывает одну из оставшихся дверей (например 3-ю) за которой находится коза. После этого ведущий предлагает вам изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор? | Вы участвуете в игре, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей спрятан автомобиль, за двумя другими - козы. Вы выбираете одну из дверей (например 1-ую) после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, открывает одну из оставшихся дверей (например 3-ю) за которой находится коза. После этого ведущий предлагает вам изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор? | ||
− | Пусть событие | + | ==Интуиция== |
− | + | ||
− | мы выбрали), то ведущий откроет любую из оставшихся дверей случайным образом, т.е. | + | У нас две двери - за одной - коза, вероятность - $\frac{1}{2} \Rightarrow $ без разницы. |
− | других же случаях условные вероятности равны: | + | |
− | + | ==Решение== | |
+ | |||
+ | Пусть событие $A_{i}$ заключается в том, что автомобиль находится за $i$-й дверью, событие $B$ - в том, что ведущий открыл 3-ю дверь. $P(A_{i}$ = 1 Если автомобиль изначально находился за 1-й дверью (которую мы выбрали), то ведущий откроет любую из оставшихся дверей случайным образом, т.е. $P(B|A_{1}) = 1$. В 2 других же случаях условные вероятности равны: $P(B|A_{2}) = 1$ и $P(B|A_{3}) = 0$. Теперь с применим формулу Байеса и формулу полной вероятности для $B : P(A_{2}|B) = P(B|A_{2})𝑃(A_{2}) = \frac{1}{3} = 2P(B|A_{!})P(A_{1}) + P(B|A_{2})P(A_{2}) + P(B|A_{3})P(A_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{6} + \frac{1}{3}} = \frac{2}{3}$ | ||
+ | |||
Таким образом, выгоднее изменить свой выбор. | Таким образом, выгоднее изменить свой выбор. |
Версия 10:07, 30 октября 2019
Содержание
Парадокс Монти Холла
Задача
Вы участвуете в игре, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей спрятан автомобиль, за двумя другими - козы. Вы выбираете одну из дверей (например 1-ую) после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, открывает одну из оставшихся дверей (например 3-ю) за которой находится коза. После этого ведущий предлагает вам изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?
Интуиция
У нас две двери - за одной - коза, вероятность - $\frac{1}{2} \Rightarrow $ без разницы.
Решение
Пусть событие $A_{i}$ заключается в том, что автомобиль находится за $i$-й дверью, событие $B$ - в том, что ведущий открыл 3-ю дверь. $P(A_{i}$ = 1 Если автомобиль изначально находился за 1-й дверью (которую мы выбрали), то ведущий откроет любую из оставшихся дверей случайным образом, т.е. $P(B|A_{1}) = 1$. В 2 других же случаях условные вероятности равны: $P(B|A_{2}) = 1$ и $P(B|A_{3}) = 0$. Теперь с применим формулу Байеса и формулу полной вероятности для $B : P(A_{2}|B) = P(B|A_{2})𝑃(A_{2}) = \frac{1}{3} = 2P(B|A_{!})P(A_{1}) + P(B|A_{2})P(A_{2}) + P(B|A_{3})P(A_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{6} + \frac{1}{3}} = \frac{2}{3}$
Таким образом, выгоднее изменить свой выбор.