Парадокс Монти-холла: различия между версиями

Материал из Algocode wiki
Перейти к: навигация, поиск
Строка 4: Строка 4:
 
Вы участвуете в игре, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей спрятан автомобиль, за двумя другими - козы. Вы выбираете одну из дверей (например 1-ую) после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, открывает одну из оставшихся дверей (например 3-ю) за которой находится коза. После этого ведущий предлагает вам изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?
 
Вы участвуете в игре, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей спрятан автомобиль, за двумя другими - козы. Вы выбираете одну из дверей (например 1-ую) после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, открывает одну из оставшихся дверей (например 3-ю) за которой находится коза. После этого ведущий предлагает вам изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?
  
Пусть событие 𝐴𝑖 заключается в том, что автомобиль находится за i-й дверью, событие 𝐵 - в том, что ведущий открыл 3-ю дверь. 𝑃(𝐴𝑖) = 1 Если автомобиль изначально находился за 1-й дверью (которую
+
==Интуиция==
3
+
 
мы выбрали), то ведущий откроет любую из оставшихся дверей случайным образом, т.е. 𝑃(𝐵|𝐴1) = 1. В 2
+
У нас две двери - за одной - коза, вероятность - $\frac{1}{2} \Rightarrow $ без разницы.
других же случаях условные вероятности равны: 𝑃(𝐵|𝐴2) = 1 и 𝑃(𝐵|𝐴3) = 0. Теперь с применим формулу Байеса и формулу полной вероятности для 𝐵:
+
 
𝑃(𝐴2|𝐵) = 𝑃(𝐵|𝐴2)𝑃(𝐴2) = 1/3 = 2 𝑃(𝐵|𝐴1)𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐵|𝐴2)𝑃(𝐴2)+𝑃(𝐵|𝐴3)𝑃(𝐴3 1/6+1/3+0 3
+
==Решение==
 +
 +
Пусть событие $A_{i}$ заключается в том, что автомобиль находится за $i$-й дверью, событие $B$ - в том, что ведущий открыл 3-ю дверь. $P(A_{i}$ = 1 Если автомобиль изначально находился за 1-й дверью (которую мы выбрали), то ведущий откроет любую из оставшихся дверей случайным образом, т.е. $P(B|A_{1}) = 1$. В 2 других же случаях условные вероятности равны: $P(B|A_{2}) = 1$ и $P(B|A_{3}) = 0$. Теперь с применим формулу Байеса и формулу полной вероятности для $B : P(A_{2}|B) = P(B|A_{2})𝑃(A_{2}) = \frac{1}{3} = 2P(B|A_{!})P(A_{1}) + P(B|A_{2})P(A_{2}) + P(B|A_{3})P(A_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{6} + \frac{1}{3}} = \frac{2}{3}$
 +
 
 
Таким образом, выгоднее изменить свой выбор.
 
Таким образом, выгоднее изменить свой выбор.

Версия 10:07, 30 октября 2019

Парадокс Монти Холла

Задача

Вы участвуете в игре, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей спрятан автомобиль, за двумя другими - козы. Вы выбираете одну из дверей (например 1-ую) после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, открывает одну из оставшихся дверей (например 3-ю) за которой находится коза. После этого ведущий предлагает вам изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

Интуиция

У нас две двери - за одной - коза, вероятность - $\frac{1}{2} \Rightarrow $ без разницы.

Решение

Пусть событие $A_{i}$ заключается в том, что автомобиль находится за $i$-й дверью, событие $B$ - в том, что ведущий открыл 3-ю дверь. $P(A_{i}$ = 1 Если автомобиль изначально находился за 1-й дверью (которую мы выбрали), то ведущий откроет любую из оставшихся дверей случайным образом, т.е. $P(B|A_{1}) = 1$. В 2 других же случаях условные вероятности равны: $P(B|A_{2}) = 1$ и $P(B|A_{3}) = 0$. Теперь с применим формулу Байеса и формулу полной вероятности для $B : P(A_{2}|B) = P(B|A_{2})𝑃(A_{2}) = \frac{1}{3} = 2P(B|A_{!})P(A_{1}) + P(B|A_{2})P(A_{2}) + P(B|A_{3})P(A_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{6} + \frac{1}{3}} = \frac{2}{3}$

Таким образом, выгоднее изменить свой выбор.