Основные понятия теории графов: различия между версиями

Материал из Algocode wiki
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «## Основные определения Формальное определение: Графом $G$ называется пара множеств $G = (V,...»)
 
 
(не показаны 4 промежуточные версии этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
## Основные определения
+
==Основные определения==
  
 
Формальное определение:
 
Формальное определение:
  
Графом $G$ называется пара множеств $G = (V, E$, где $V(G)$ — непустое конечное множество элементов, называемых **вершинами** графа, а $E$ — множество пар элементов из $V$ (необязательно различных), называемых **ребрами** графа. $E = \{(u , v)\ | u, v \in V\}$ — множество ребер графа $G$, состоящее из пар вершин $(u, v)$.  Ребро $(u, v)$ соединяет вершины $u$ и $v$.  
+
Графом $G$ называется пара множеств $G = (V, E$, где $V(G)$ — непустое конечное множество элементов, называемых вершинами графа, а $E$ — множество пар элементов из $V$ (необязательно различных), называемых ребрами графа. $E = \{(u , v)\ | u, v \in V\}$ — множество ребер графа $G$, состоящее из пар вершин $(u, v)$.  Ребро $(u, v)$ соединяет вершины $u$ и $v$.  
  
 
Простое определение:
 
Простое определение:
Строка 9: Строка 9:
 
Граф - это набор вершин (точек) и соединяющих их отрезков (рёбер).
 
Граф - это набор вершин (точек) и соединяющих их отрезков (рёбер).
  
![Примеры графа](http://i.imgur.com/vE0aVrE.jpg)
+
Примеры:
  
 
Две вершины, соединенные ребром, называют смежными вершинами. Обычно в задачах $N$ - количество вершин, а $M$ - ребер. Количество ребер, исходящее из вершины называют степенью вершины $d(v)$. Для вершины $a$ ребро $(a, b)$ называется инцидентным ей. На рисунке ниже вершине 8 инцидентно только ребро (4, 8), а вершине 10 ребра (2, 10) и (5, 10).  
 
Две вершины, соединенные ребром, называют смежными вершинами. Обычно в задачах $N$ - количество вершин, а $M$ - ребер. Количество ребер, исходящее из вершины называют степенью вершины $d(v)$. Для вершины $a$ ребро $(a, b)$ называется инцидентным ей. На рисунке ниже вершине 8 инцидентно только ребро (4, 8), а вершине 10 ребра (2, 10) и (5, 10).  
  
### Теоретическое задание
+
Если какие-то две вершины соединены более, чем одним ребром, то говорят, что граф содержит кратные ребра. Если ребро соединяет вершину саму с собой, то такое ребро называют петлей.
Назовите степень 1-ой и 6-ой вершины и какие ребра инциденты им.
+
 
 +
Простой граф не содержит петель и кратных ребер. Если не сказано ничего про наличие петель и кратных ребер, мы будем всегда считать, что граф простой.
 +
 
 +
Также часто рассматривают ориентированные графы — это графы, у которых ребра имеют направление, а иначе граф – неориентированный.
 +
 
 +
===Деревья===
 +
 
 +
Дерево - это связный неориентированный граф без циклов.
 +
 
 +
Пример дерева
  
![1](http://gaskley.narod.ru/Discr/more_2/10.gif)
+
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Tree_graph.svg/162px-Tree_graph.svg.png
  
Если какие-то две вершины соединены более, чем одним ребром, то говорят, что граф содержит кратные ребра. Если ребро соединяет вершину саму с собой, то такое ребро называют петлей.
+
Свойства дерева:
 +
 
 +
1) У дерева с хотя бы 2 вершинами всегда есть висячая вершина - вершина степени 1.
 +
 
 +
Действительно, если начать из любой вершины идти по непосещенным ранее вершинам, то в какой-то момент мы прекратим это делать, ведь граф конечный. При этом если из этой вершины не может быть ребер в непосещенные вершины - ведь тогда прекращать рано, и не может быть ребер в посещенные ребра (помимо предыдущей) - ведь тогда есть цикл. А значит, есть ребро только в предыдущую вершину, значит степень равна 1.
 +
 
 +
2) У дерева с хотя бы 2 вершинами всегда есть две висячие вершины.
  
**Простой граф** не содержит петель и кратных ребер. Если не сказано ничего про наличие петель и кратных ребер, мы будем всегда считать, что граф простой.
+
Действительно, если предыдущий алгоритм начать из висячей вершины, то мы уткнемся в другую висячую вершину.
  
### Теоретическое задание
+
3) У дерева с $N$ вершинами всегда ровно $N-1$ ребро.
Сколько может быть рёбер в простом графе в $N$ вершинами?
 
  
 +
Давайте отрезать от дерева его висячие вершины - при этом число вершин уменьшится на один, число ребер тоже уменьшится на один, а граф останется деревом. Раз граф остается деревом, у него все время будет висячая вершина, пока $N > 1$. В какой-то момент останется только одна вершина и ноль ребер. Раз мы отрезали столько же вершин, сколько ребер, и получили 1 вершину и 0 ребер, значит изначально вершин было ровно на одну больше.
  
![2](http://rain.ifmo.ru/cat/data/theory/unsorted/matroids-2004/graph.gif)
+
4) Между любыми двумя вершинами в дереве есть ровно один простой путь.
  
 +
Действительно, если их два, то в графе есть цикл. Быть ноль их не может - ведь граф связный.
  
### Теоретическое задание
+
5) Дерево - это минимальный по числу рёбер связный граф на $N$ вершинах.
Найдите цикл размера 4 и петлю в этом непростом графе.
 
  
 +
Действительно, если есть связный граф, в котором меньше, чем $N-1$ ребро, то давайте уберем из его цикла ребро. Граф при этом остается связным, а число ребер уменьшается. Давайте повторять это, пока в какой-то момент циклов в графе не будет, а значит осталось дерево. Но мы уже доказали, что в дереве $N-1$ ребро, это противоречие, ведь у нас сначала было меньше ребер, а мы еще и удалили сколько-то.
  
Также часто рассматривают **ориентированные графы** — это графы, у которых ребра имеют направление, а иначе граф – неориентированный.
+
{{Автор|Глеб Лобанов|glebodin}}

Текущая версия на 16:20, 26 сентября 2019

Основные определения

Формальное определение:

Графом $G$ называется пара множеств $G = (V, E$, где $V(G)$ — непустое конечное множество элементов, называемых вершинами графа, а $E$ — множество пар элементов из $V$ (необязательно различных), называемых ребрами графа. $E = \{(u , v)\ | u, v \in V\}$ — множество ребер графа $G$, состоящее из пар вершин $(u, v)$. Ребро $(u, v)$ соединяет вершины $u$ и $v$.

Простое определение:

Граф - это набор вершин (точек) и соединяющих их отрезков (рёбер).

Примеры:

Две вершины, соединенные ребром, называют смежными вершинами. Обычно в задачах $N$ - количество вершин, а $M$ - ребер. Количество ребер, исходящее из вершины называют степенью вершины $d(v)$. Для вершины $a$ ребро $(a, b)$ называется инцидентным ей. На рисунке ниже вершине 8 инцидентно только ребро (4, 8), а вершине 10 ребра (2, 10) и (5, 10).

Если какие-то две вершины соединены более, чем одним ребром, то говорят, что граф содержит кратные ребра. Если ребро соединяет вершину саму с собой, то такое ребро называют петлей.

Простой граф не содержит петель и кратных ребер. Если не сказано ничего про наличие петель и кратных ребер, мы будем всегда считать, что граф простой.

Также часто рассматривают ориентированные графы — это графы, у которых ребра имеют направление, а иначе граф – неориентированный.

Деревья

Дерево - это связный неориентированный граф без циклов.

Пример дерева

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Tree_graph.svg/162px-Tree_graph.svg.png

Свойства дерева:

1) У дерева с хотя бы 2 вершинами всегда есть висячая вершина - вершина степени 1.

Действительно, если начать из любой вершины идти по непосещенным ранее вершинам, то в какой-то момент мы прекратим это делать, ведь граф конечный. При этом если из этой вершины не может быть ребер в непосещенные вершины - ведь тогда прекращать рано, и не может быть ребер в посещенные ребра (помимо предыдущей) - ведь тогда есть цикл. А значит, есть ребро только в предыдущую вершину, значит степень равна 1.

2) У дерева с хотя бы 2 вершинами всегда есть две висячие вершины.

Действительно, если предыдущий алгоритм начать из висячей вершины, то мы уткнемся в другую висячую вершину.

3) У дерева с $N$ вершинами всегда ровно $N-1$ ребро.

Давайте отрезать от дерева его висячие вершины - при этом число вершин уменьшится на один, число ребер тоже уменьшится на один, а граф останется деревом. Раз граф остается деревом, у него все время будет висячая вершина, пока $N > 1$. В какой-то момент останется только одна вершина и ноль ребер. Раз мы отрезали столько же вершин, сколько ребер, и получили 1 вершину и 0 ребер, значит изначально вершин было ровно на одну больше.

4) Между любыми двумя вершинами в дереве есть ровно один простой путь.

Действительно, если их два, то в графе есть цикл. Быть ноль их не может - ведь граф связный.

5) Дерево - это минимальный по числу рёбер связный граф на $N$ вершинах.

Действительно, если есть связный граф, в котором меньше, чем $N-1$ ребро, то давайте уберем из его цикла ребро. Граф при этом остается связным, а число ребер уменьшается. Давайте повторять это, пока в какой-то момент циклов в графе не будет, а значит осталось дерево. Но мы уже доказали, что в дереве $N-1$ ребро, это противоречие, ведь у нас сначала было меньше ребер, а мы еще и удалили сколько-то.



Автор конспекта: Глеб Лобанов

По всем вопросам пишите в telegram @glebodin