Операции с Матрицами
$A_{i}$ - $i$-я строчка матрицы, $A^{i}$ - $i$-й столбец матрицы
Сложение
$A = \begin{pmatrix} a_{0 \ 0}& a_{0 \ 1}\\ a_{1 \ 0}& a_{1 \ 1} \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} b_{0 \ 0}& b_{0 \ 1}\\ b_{1 \ 0}& b_{1 \ 1} \end{pmatrix}$, $A + B = \begin{pmatrix} a_{0 \ 0} + b_{0 \ 0}& a_{0 \ 1} + b_{0 \ 1}\\ a_{1 \ 0} + b_{1 \ 0}& a_{1 \ 1} + b_{1 \ 1} \end{pmatrix}$
Умножение на число
$A = \begin{pmatrix} a_{0 \ 0}& a_{0 \ 1}\\ a_{1 \ 0}& a_{1 \ 1} \end{pmatrix}, A \cdot c = \begin{pmatrix} a_{0 \ 0} \cdot c& a_{0 \ 1} \cdot c\\ a_{1 \ 0} \cdot c& a_{1 \ 1} \cdot c \end{pmatrix}$
Транспонирование
Давайте просто перевернем матрицу, более формально :
Дана матрица $A_{N, M}$, тогда
$A^T_{j \ i} = A_{i \ j} \ \ \forall i \lt N, j \lt M$
$A = \begin{pmatrix} a_{0 \ 0}& a_{0 \ 1}\\ a_{1 \ 0}& a_{1 \ 1} \end{pmatrix}, A^T = \begin{pmatrix} a_{0 \ 0}& a_{1 \ 0}\\ a_{0 \ 1}& a_{1 \ 1} \end{pmatrix}$
Умножение матриц
Даны две матрицы :
$A \in Mat_{n \times m}, B \in Mat_{m \times k}$
Тогда :
$(A \cdot B)_{i \ j} = A_{(i)} \cdot B^{(j)} = \sum \limits_{k = 1}^n (a_{i \ k} + b_{k \ j})$, то есть говоря простым языком $(A \cdot B)_{i j} = $ сумме произвдения $A_{i}$ и $B^{j}$
$A = \begin{pmatrix}
2& -3& 1\\
5& 4& 2
\end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix}
-7& 5\\
2& -1\\
4& 3
\end{pmatrix}, A \cdot B = \begin{pmatrix}
2 \cdot (-7) + (-3) \cdot 2 + 1 \cdot 4& 2 \cdot 5 + (-3) \cdot (-1) + 1 \cdot 3\\
5 \cdot (-7) + 4 \cdot 2 + (-2) \cdot 4& 5 \cdot 5 + 4 \cdot (-1) + (-2) \cdot 3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-16& 16\\
-35& 15
\end{pmatrix}$
Несложно заметить, что все операции кроме умножения работают за размер матрицы($O(N \cdot M)$), умножение же для матриц $A \in Mat_{N \ M}, B \in Mat_{M \ K}$ работает за $O(N \cdot M \cdot K)$
Автор конспекта: Глеб Лобанов
По всем вопросам пишите в telegram @glebodin