Ним: различия между версиями

Материал из Algocode wiki
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «==Ним== Два игрока играют в следующую игру - есть $n$ кучек камней, в каждой - $a_{i}$ камней. За о...»)
 
Строка 6: Строка 6:
 
==Решение нима==
 
==Решение нима==
  
Первый игрок выигрывает тогда и только тогда, когда $a_{1} \bigoplus \dots \bigoplus a_{n} \neq 0$($a_{1} \bigoplus \dots \bigoplus a_{n}$ - называют $XOR$-суммой).
+
Сведем ним из нескольких кучек к ниму из одной. Первый игрок выигрывает тогда и только тогда, когда $a_{1} \bigoplus \dots \bigoplus a_{n} \neq 0$($a_{1} \bigoplus \dots \bigoplus a_{n}$ - называют $XOR$-суммой).
  
Докажем по индукции :
+
Докажем по индукции по суммарному количеству камней в кучках:
  
 
1) Если у нас есть только кучки размера 0, то их $\bigoplus$ = 0 и следовательно положение - проигрышное.
 
1) Если у нас есть только кучки размера 0, то их $\bigoplus$ = 0 и следовательно положение - проигрышное.

Версия 16:31, 9 февраля 2020

Ним

Два игрока играют в следующую игру - есть $n$ кучек камней, в каждой - $a_{i}$ камней. За один ход любой игрок может достать из любой кучки $c > 0$ камней, выигрывает игрок, сделавший последний ход.

Данная игра называется ним и ниже мы докажем, что любая равноправная цикличная игра сводится к ниму.

Решение нима

Сведем ним из нескольких кучек к ниму из одной. Первый игрок выигрывает тогда и только тогда, когда $a_{1} \bigoplus \dots \bigoplus a_{n} \neq 0$($a_{1} \bigoplus \dots \bigoplus a_{n}$ - называют $XOR$-суммой).

Докажем по индукции по суммарному количеству камней в кучках:

1) Если у нас есть только кучки размера 0, то их $\bigoplus$ = 0 и следовательно положение - проигрышное.

2) Пусть у нас есть $n$ кучек размера $a_{1} \dots a_{n}$, покажем, что из выигрышного положения можно перейти в проигрышное положение и что из проигрышного положения есть переходы только в выигрышные.

Если $a_{1} \bigoplus \dots \bigoplus a_{n} = 0$ и мы поменяли размер $i$ кучки на $y$, то теперь наша $XOR$-сумма = $a_{1} \bigoplus \dots y \dots \bigoplus a_{n}$, покажем, что $a_{1} \bigoplus \dots y \dots \bigoplus a_{n} \neq 0$. Если $a_{1} \bigoplus \dots y \dots \bigoplus a_{n} = 0$, то $a_{1} \bigoplus \dots y \dots \bigoplus a_{n} \bigoplus a_{1} \bigoplus \dots \bigoplus a_{n} = 0 \bigoplus 0 = 0$ ($XOR$-сумма до хода $\bigoplus XOR$-сумма после хода), уберем из этого выражения все равные элементы и получим $a_{i} \bigoplus y = 0$, но так как размер кучки обязательно изменился и $a_{i} \neq y$, то противоречие и следовательно из проигрышной позиции есть переходы только в выигрышные позиции.

Если $a_{1} \bigoplus \dots \bigoplus a_{n} = x \neq 0$, то возьмем старший единичный бит $x$, найдем $a_{i}$, у которого данный бит равен 1 и сделаем ход $a_{i} = a_{i} \bigoplus x$, так как $a_{i}$ уменьшилось и $x \bigoplus x$ = 0, то такой ход всегда можно сделать и он всегда ведет в проигрышное состояние.

Ним с прибавлением

Пусть теперь нам в ниме разрешено сделать операцию $a_{i} += x$, при этом нам гарантируется, что игра - ациклична(например нам разрешено сделать операцию + не более $n$ раз), тогда такой ним эквивалентен обычному ниму, так как на ход соперника +x мы можем просто ответить -x.

Сведение любой игры к ниму

Пусть есть Ациклический ориентированный граф и игра на нем вида можно перейти по ребру, последний сделавший ход - выиграл, сведем ее к ниму :

Пусть $f(u)$ - функция, сопоставляющая вершине $u$ ним размера $f(u)$

Сопоставим листьям ним размера 0, так как и ним размера 0 и листья - проигрышные позиции.

Для каждого не листа рассмотрим список его сыновей, пусть в этом списке есть все числа от 0 до $x - 1$(возможно не один раз) и что-то еще(числа $> x$), но при этом нет $x$, тогда это значит, что мы стоим в позиции из которой можно перейти в ним размера от 0 до $x - 1$, а это значит, что мы стоим в ниме размера $x$. Данная операция(нахождение минимального неотрицательного числа, которого нет в массиве) называется mex(minimal excluding).

И в самом деле такое сведение верное, так как из проигрышной вершины(в которой стоит не 0) нет перехода в проигрышную вершину(иначе mex был бы не 0). Из выигрышной вершины всегда же есть переход в проигрышную(так как в сыновьях есть 0).



Автор конспекта: Глеб Лобанов

По всем вопросам пишите в telegram @glebodin