Комплексные числа

То что здесь написано не претендует на звание самого понятного и полного конспекта. Он нужен скорее как предисловие к быстрому преобразованию Фурье и сюда я его залил только потому, что у меня был старый конспект по ффт включающий в себя комплексные числа. Если есть желающие перезаписать эту страницу, смело это делайте.

Содержание

1 Определение
2 Операции
- 2.1 Алгебраический смысл
- 2.2 Геометрический смысл
3 Применения

Определение

Комплексное число — это пара из двух действительных чисел, вида $(x, y)$, где $x$ — действительная часть, а $y$ — мнимая часть. Комплексные числа удобно представлять на плоскости в виде вектора, идущего к точке с координатами $(x, y)$. Ещё один популярные способ определять комплексные числа — записывать комплексное число $(x, y)$ в виде $x + i \cdot y$, где $i$ называется мнимой единицей. Особенность мнимой единицы в том, что $i \cdot i = -1$

Операции

Алгебраический смысл

Из второго определения комплексных чисел можно легко вывести всевозможные арифметические операции с комплексными числами.

$(x_1 + i \cdot y_1) + (x_2 + i \cdot y_2) = (x_1 + x_2) + i \cdot (y_1 + y_2)$

$(x_1 + i \cdot y_1) - (x_2 + i \cdot y_2) = (x_1 - x_2) + i \cdot (y_1 - y_2)$

$(x_1 + i \cdot y_1) \cdot (x_2 + i \cdot y_2) = (x_1 \cdot x_2 - y_1 \cdot y_2) + i \cdot (x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1)$

Число $\overline{z}$ называется сопряженным числом $z$ и имеет формулу $x - i \cdot y$. Легко заметить, что $(x + i \cdot y) \cdot (x - i \cdot y) = x^2 + y^2$. Тогда из этого можно вывести формулу деления.

$$\frac{x_1 + i \cdot y_1}{x_2 + i \cdot y_2} = \frac{(x_1 + i \cdot y_1) \cdot (x_2 - i \cdot y_2)}{(x_2 + i \cdot y_2) \cdot (x_2 - i \cdot y_2)} = \frac{(x_1 + i \cdot y_1) \cdot (x_2 - i \cdot y_2)}{x_2^2 + y_2^2} = \frac{x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2}{x_2^2 + y_2^2} + i \cdot \frac{y_1 \cdot x_2 - x_1 \cdot y_2}{x_2^2 + y_2^2}$$

Геометрический смысл

Вернёмся к первому определению и посмотрим, что означают операрации с комплексными числами в геометрическом смысле.

$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2,\:y_1 + y_2)$

$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2,\:y_1 - y_2)$

Тогда сумма и разность двух комплексных чисел соответствует сумме и разности векторов, соответствующих им.

$(x_1, y_1) \cdot (x_2, y_2) = (x_1 \cdot x_2 - y_1 \cdot y_2,\:x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1)$

Замечаем, что $x$ координата вектора это длина вектора умноженная на косинус угла вектора, а $y$ координата вектора это длина вектора умноженная на синус угла вектора. Т.е. $x = L \cdot \cos \alpha$, $y = L \cdot \sin \alpha$. Тогда $x_1 \cdot x_2 - y_1 \cdot y_2 = L_1 \cdot L_2 \cdot (\cos \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 - \sin \alpha_2 \cdot \sin \alpha_2) = L_1 \cdot L_2 \cdot \cos(\alpha_1 + \alpha_2)$ (По формуле двойного угла). Аналогично $x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1 = L_1 \cdot L_2 \cdot \cos(\alpha_1 + \alpha_2)$. Тогда при произведении двух комплексных чисел результат в векторном виде имеет длину, равную произведению двух векторов, соответствующих множителям, а угол этого вектора равен сумме углов, соответствующих множителям.

Тоже самое можно вывести для деления, оставим это читателю в качестве упражнения.

Применения

Комплексные числа имеют много разных применений. Их можно использовать в геометрии, чтобы заменить число на вектор. Нетрудно заметить, что векторное и скалярное произведение это действительная и мнимая часть числа.

Так же комплексные числа применяются в быстром преобразовании Фурье.

Автор конспекта: Филипп Грибов

По всем вопросам пишите в telegram @grphil