Дерево Li Chao

Дерево Li Chao --- это структура данных, умеющая обрабатывать два вида запросов:

• Добавить линейную функцию $f(x) = ax + b$ в множество $X$.
• Найти минимальное значение $f(x)$ по всем $f \in X$ при заданном $x$.

Структура дерева

Построим дерево, аналогичное дерево отрезков, над всем множеством координат (если координаты вещественные, то над всем множеством с определенной точностью). В каждой вершине дерева будем хранить какую-то линейную функцию (изначально нейтральную).

Определим $get$-запросы для координаты $x$ над деревом таким образом:

• Сделаем спуск по дереву к листу, соответствующему координате $x$
• Выпишем все посещенные вершины
• Возьмем минимум среди всех этих функций

Теперь придумаем такие $add$-запросы, что после их выполнения $get$ корректен:

• Пусть мы хотим добавить функцию $f$
• Рассмотрим вершину $v$ такую, что вне отрезка $[l, r]$, соответствующему вершине $v$, $f$ никогда не бывает минимальной.
• Посмотрим на среднюю точку для этого отрезка $m = \frac{l + r}{2}$ и на функцию $g$, записанную в $v$.
• Если $f(m) < g(m)$, то поменяем $f, g$ местами.
• Заметим, что теперь прямая $f$ может быть минимальной либо на $[l, m - 1]$, либо на $[m + 1, r]$ (если переменные вещественные, то $m \pm \epsilon$)
• Рекурсивно решим задачу в соответствующем поддереве

Реализация

//TODO

---

Автор конспекта: Константин Амеличев

По всем вопросам пишите в telegram @kik0s