Двумерное ДП

Двумерная динамика: черепашка Теперь рассмотрим такую задачу:

На каждой клетке двумерной таблички написано, сколько там лежит монет. Черепашка стоит в клетке $1 \times 1$ (верхней левой), и может двигаться только на одну клетку вниз, или на одну клетку вправо. Нужно найти максимальное число монет, которое может набрать черепашка по пути к нижней правой клетке $N \times M$.

Первое, что приходит в голову - это просто идти черепашкой в ту клетку из соседних, где лежит больше монет. К сожалению, эта жадная стратегия не всегда работает. Например, на такой доске жадная черепашка пошла бы по следу из единичек, хотя гораздо выгоднее пойти сначала по нулям, а потом найти там большие горстки монет (40, 70, 100):

1 COINS = [
2     [0,   1,   1,   1,   1,   1],
3     [0,   0,   0,   0,   0,   1],
4     [0,   40,  70,  0,   0,   1],
5     [100, 0,   0,   0,   0,   1]
6 ]

Тут нас снова спасает динамика. Давайте сводить задачу к предыдущей! Задачей назовем "сколько максимально монет можно набрать на пути от $0\times0$ до $i\times j$" (заменим 1-нумерацию на 0-нумерацию). Будем хранить это в двумерном массиве $dp$ в клетке $dp[i][j]$.

Сразу понятны некоторые свойства этого массива:

• Он размера $n \times m$
• $dp[0][0] = COINS[0][0]$
• ответ на всю задачу лежит в $dp[n - 1][m - 1]$

Но гораздо важнее придумать формулу для подсчета $dp[i][j]$ через предыдущие. Легко посчитать первую строку и первый столбец:

• $dp[0][k] = dp[0][k - 1] + COINS[0][k]$
• $dp[k][0] = dp[k - 1][0] + COINS[k][0]$

Так как до этих клеток есть ровно один путь.

Но что делать, если есть много путей до клетки $dp[i][j]$? Снова разобьем их на на несколько групп в зависимости от последнего хода (! важный трюк, запомните). Последний ход был:

• либо из $[i][j - 1]$
• либо из $[i - 1][j]$

Поэтому формула для максимального числа монет такая: $dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + COINS[i][j]$.

Ну все, достаточно пройтись правильно по двумерному массиву (построчно сверху вних, а в каждой строке слева направо) и заполнить этот массив.

 1 for (int i = 0; i < n; i++) {
 2     for (int j = 0; j < m; j++) {
 3         if (i == 0 && j == 0) {
 4             dp[0][0] = COINS[0][0];
 5             prev[0][0] = -1 # это самое начало, предыдущей клетки нет
 6         }
 7         else if (i == 0) {
 8             dp[0][j] = dp[0][j - 1] + COINS[0][j];
 9             prev[0][j] = 0 # слева пришли
10         }
11         else if (j == 0) {
12             dp[i][0] = dp[i - 1][0] + COINS[i][0];
13             prev[i][0] = 1 # сверху пришли
14         }
15         else {
16             dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + COINS[i][j];
17         }
18     }
19 }

---

Автор конспекта: Глеб Лобанов

По всем вопросам пишите в telegram @glebodin