Алгоритм Прима: различия между версиями
Stasana (обсуждение | вклад) м |
|||
Строка 41: | Строка 41: | ||
int start_v = 0; /* начнём строить дерево с 0 вершины */ | int start_v = 0; /* начнём строить дерево с 0 вершины */ | ||
+ | vector<bool> visited(n, false); | ||
set<pair<int, Vertex> > shortest_edge; | set<pair<int, Vertex> > shortest_edge; | ||
vector<Edge> incoming_edge(n, Edge::NoEdge()); | vector<Edge> incoming_edge(n, Edge::NoEdge()); | ||
Строка 52: | Строка 53: | ||
Vertex safe_edge_end = shortest_edge.begin()->second; | Vertex safe_edge_end = shortest_edge.begin()->second; | ||
shortest_edge.erase(shortest_edge.begin()); | shortest_edge.erase(shortest_edge.begin()); | ||
+ | visited[safe_edge_end] = true; | ||
if (safe_edge_end != start_v) { | if (safe_edge_end != start_v) { | ||
Строка 60: | Строка 62: | ||
Edge cur_e = adjacent[safe_edge_end][i]; | Edge cur_e = adjacent[safe_edge_end][i]; | ||
Vertex to = cur_e.to; | Vertex to = cur_e.to; | ||
+ | if (visited[to]) { | ||
+ | continue; | ||
+ | } | ||
− | if (incoming_edge[to].w | + | if (incoming_edge[to].w > cur_e.w) { |
shortest_edge.erase({incoming_edge[to].w, to}); | shortest_edge.erase({incoming_edge[to].w, to}); | ||
incoming_edge[to] = cur_e; | incoming_edge[to] = cur_e; |
Текущая версия на 17:20, 21 ноября 2020
Задача
Дан неориентированный взвешенный граф $G=(V, E)$.
Остовным деревом в $G$ называется граф $ST=(V, E')$ такой что $E' \subset E$ и $ST$ является деревом. Говоря простым языком, мы оставляем в графе только некоторые рёбра, чтобы оставшийся граф был деревом (или, ещё говорят, скелетом).
Весом графа мы будем называть суммарный вес всех рёбер, входящих в него.
Наша задача состоит в том, чтобы найти MST $~-$ Minimal Spanning Tree $~-$ остовное дерево минимального веса.
Замечание
В графе может быть много минимальных остовных деревьев. Например, в полном графе на $n$ вершинах, с весами всех рёбер, равных $1$, их $n^{n-2}$.
Как и Алгоритм Краскала, алгоритм Прима основывается на лемме о безопасном ребре.
Алгоритм
Ход алгоритма очень напоминает алгоритм Дейкстры. Мы будем по очереди добавлять вершины в наш мин.остов, на каждом шаге выбирая наилучшую. Единственное отличие от алгоритма Дейкстры состоит в том, что после добавления вершины мы для её соседей будем релаксировать не длину пути, а длину минимального входящего в неё ребра из уже обработанных вершин.
typedef int Vertex;
struct Edge {
Vertex from, to;
int w;
Edge(Vertex from, Vertex to, int w) {
this->from = from;
this->to = to;
this->w = w;
}
static NoEdge() {
return Edge(-1, -1, -1);
}
};
vector<Edge> MstPrimAlgorithm(vector<vector<Edge> >& adjacent) {
int n = adjacent.size();
int start_v = 0; /* начнём строить дерево с 0 вершины */
vector<bool> visited(n, false);
set<pair<int, Vertex> > shortest_edge;
vector<Edge> incoming_edge(n, Edge::NoEdge());
shortest_edge.insert({0, start_v});
for (Vertex i = 1; i < n); ++i) {
shortest_edge.insert({INF, i));
}
vector<Edge> mst;
while (!shortest_edge.empty()) {
Vertex safe_edge_end = shortest_edge.begin()->second;
shortest_edge.erase(shortest_edge.begin());
visited[safe_edge_end] = true;
if (safe_edge_end != start_v) {
mst.push_back(incoming_edge[safe_edge_end]);
}
for (int i = 0; i < adjacent[safe_edge_end].size(); ++i) {
Edge cur_e = adjacent[safe_edge_end][i];
Vertex to = cur_e.to;
if (visited[to]) {
continue;
}
if (incoming_edge[to].w > cur_e.w) {
shortest_edge.erase({incoming_edge[to].w, to});
incoming_edge[to] = cur_e;
shortest_edge.insert({incoming_edge[to].w, to});
}
}
}
return mst;
}
Корректность
Пусть в какой-то момент мы хотим добавить ребро $(u, v)$ в $MST$. Тогда по построению оно является безопасным для безопасного остова, в котором первое дерево построено на уже обработанных вершинах, а второе получается, если рассмотреть любой миностов на необработанных.
Сложность
Как и в алгоритме Дейкстры с кучей сложность алгоритма будет $O(\underbrace{ElogV}_\text{суммарно на всех шагах мы прорелаксируем все рёбра} + \underbrace{VlogV}_\text{на каждой итерации мы извлекаем вершину из set'а}) = O((V+E)logV)$
Без $set$'а
Как и в алгоритме Дейкстры, мы можем написать решение, которое будет выбирать очередную вершину не вытаскивая из $set'$а, а каждый раз просматривая все вершины заново. Асимптотика такого решения будет $O(\underbrace{V^2}_\text{на каждой из V итераций рассматриваем все вершины} + \underbrace{E}_\text{суммарно на всех шагах мы рассмотрим каждое ребро по 2 раза})$
typedef int Vertex;
struct Edge {
Vertex from, to;
int w;
Edge(Vertex from, Vertex to, int w) {
this->from = from;
this->to = to;
this->w = w;
}
static InfiniteEdge() {
return Edge(-1, -1, INF);
}
};
vector<Edge> MstPrimAlgorithm(vector<vector<Edge> >& adjacent) {
int n = adjacent.size();
int start_v = 0; /* начнём строить дерево с 0 вершины */
vector<bool> is_visited(n, false);
is_visited[start] = true;
vector<Edge> incoming_edge(n, Edge::InfiniteEdge());
incoming_edge[start] = {-1, start, 0};
vector<Edge> mst;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
// ================== Выбираем минимальное ребро ============
Edge safe_edge = Edge::InfiniteEdge();
for (int v = 0; v < n; ++v) {
if (is_visited[v]) {
continue;
}
if (incoming_edge[v].w < safe_edge.w) {
safe_edge = incoming_edge[v];
}
}
if (safe_edge.to != start_v) {
mst.push_back(safe_edge);
}
for (int i = 0; i < adjacent[safe_edge.to].size(); ++i) {
Edge cur_e = adjacent[safe_edge.to][i];
Vertex to = cur_e.to;
if (incoming_edge[to].w < cur_e.w) {
incoming_edge[to] = cur_e;
}
}
}
return mst;
}
Автор конспекта: Александр Гришутин
По всем вопросам пишите в telegram @rationalex